INTRODUZIONE

 

 

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Sei in "Simmetrie senza segreti" Re

Ho ancora due argomenti da trattare prima di tornare a casa. Il primo più matematico (ma senza formule!), il secondo più fisico (ma la distinzione va presa con le molle). Mi avvicino a questi problemi non per dare un mio contributo originale, ma per offrire spunti di soluzione all'unico problema che mi interessa:

la scientificità della psicanalisi.

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La geometria euclidea ritorna in tanti modi all'interno di quella non euclidea. Succede come al ritorno del rimosso dopo la rimozione. Giusta la storiella freudiana della negazione. La madre non è, dice il paziente. Allora è la madre, corregge Freud. Il simbolo della negazione non serve a negare l'enunciato, ma a far transitare durante l'enunciazione il contenuto inconscio rimosso verso la coscienza. Non lo si crederebbe. Si nega Euclide per tornare a Euclide, che è stato rimosso.

Il primo modo, inaugurato dal nostro Enrico Betti (1823-1892) e perfezionato da Jules-Henri Poincaré (1854-1912), è il metodo dei modelli euclidei di spazi non euclidei. Si considera uno spazio euclideo bi o tridimensionale. I punti sono i punti di tale spazio. Le rette sono particolare curve, dette geodetiche, i piani particolari superfici. Esistono diversi modelli euclidei della geometria iperbolica, a curvatura negativa, dove non vale il postulato della parallela né il teorema di Pitagora. In compenso succedono cose fantastiche, per esempio, la somma degli angoli di un triangolo è inferiore a due retti e tanto minore quanto maggiore è l'area del triangolo.

Per farmi capire dallo psicanalista, faccio un paragone. E' anche una profezia, che io non vedrò realizzarsi. Se tanto mi dà tanto, un giorno vedrete qualcuno approntare un modello freudiano di una nuova psicanalisi non freudiana, cioè scientifica. Le pulsioni avranno un altro significato, i principi di piacere e di nirvana riprodurranno altre evenienze psichiche ecc. Resterà solo l'inconscio come invariante fondamentale, ma forse sotto altro nome. Non tutto è perduto, insomma, della formazione che hai dovuto acquisire a caro prezzo, caro freudiano ortodosso. Dovrai solo riassemblare i pezzi, ricombinandoli in un'altra costruzione. Questa volta sarà una vera

Costruzione in analisi.

Un esempio meno fantasioso. Si può immergere la psicanalisi junghiana - che non è freudiana - in quella freudiana, che ha qualche "dimensione" in più.

Il secondo modo in cui il rimosso Euclide ritorna è per la via appena citata dell'immersione.

Ho appena detto che la geometria moderna non studia figure in uno spazio, ma studia più spazi, confrontandoli tra loro attravero la loro azione sulla stessa figura. Ora mi contraddico senza paura. La geometria moderna si interessa anche a spazi immersi in spazi più grandi, come le figure euclidee sono naturalmente immerse nello spazio ordinario. In fondo, tra i confronti possibili tra spazi diversi rientra a pieno titolo anche la relazione di inclusione di uno spazio in un sovraspazio. (Come una curva è immersa in una superficie e una superficie è immersa nello spazio ordinario).

Qui tocco un punto delicato per l'umanista, subito pronto a valorizzare i minimi dettagli come indizi di chissà quali misteri. Ebbene, sappi, caro umanista, che ci sono dettagli che sono indizi di nulla. Sono artefatti tecnici della rappresentazione. E' inutile, quando non è dannoso, sovraccaricarli di senso, caro umanista. Perché non sono strutturali. Se ne cambi l'ambientazione, quel che non era strutturale evapora, svanisce come bolla di sapone.

Faccio degli esempi.

Il cilindro sembra una superficie curva. Si costruisce con un foglio di carta arrotolato su se stesso. Eppure rimane piatto, come si dimostra sviluppandolo sul piano. Il teorema di Pitagora vale tanto sul cilindro che sul piano.

Il toro sembra una superficie con due curvature: negativa dentro, positiva fuori dal buco. Eppure, se immergi il toro in uno spazio quadridimensionale, torna piatto come mamma l'ha fatto, cioè come un foglio ripiegato due volte su se stesso.

(Noterella per lo psicanalista freudiano. Il toro e il cilindro sono castrati dalla nascita. Sono piatti come le femmine. Ma sembrano curvi, cioè che abbiano il fallo.)

La bottiglia di Klein - lo stesso Felix! -, sembra un toro che si autointerseca nello spazio ordinario, ma perde l'autointersezione, se lo immergi in uno spazio euclideo a quattro dimensioni. Tutti i nodi si sciolgono, se immersi in E4. Fosse possibile pure con i nodi freudiani!

Ho dato questi esempi banali per mettere in guardia dal modo di pensare essenzialistico. Cosa c'è di più essenziale dell'annodamento in un nodo? Eppure, l'annodamento non è l'essenza del nodo. Svanisce come un'essenza profumata, una volta immerso il nodo in uno spazio dimensionalmente più ricco di quello ordinario.

Prima di transitare per la psicosi (quasi certamente isterica, ma erroneamente classificata dalla psichiatria americana come schizofrenia), John Forbes Nash (1928), più noto come Beautiful Mind, dimostrò il teorema di immersione isometrica (1954).

Ogni varietà topologica, su cui sia definita una distanza, si può immergere in uno spazio euclideo di dimensione opportuna, in modo che la distanza tra due punti, calcolata sulla varietà, sia uguale a quella calcolata nello spazio euclideo che ospita la varietà.

(Per intenderci, la distanza tra due punti della superficie sferica, calcolata sulla superficie sferica bidimensionale, non ha lo stesso valore della distanza tra gli stessi due punti, considerati nello spazio tridimensionale in cui la sfera è immersa. Due punti antipodali sono più distanti sulla superficie sferica che nel volume sferico. Nel primo caso la geodetica - la curva di minima distanza - è curva, nel secondo è dritta).

Un teorema da medaglia Field.

Insomma, Euclide, non più Euclide, e poi ancora Euclide.

In fondo, Euclide ha inventato delle simmetrie (erano congruenze, similitudini, parallelismi), che non possono essere cancellate dalla storia della matematica. Nelle geometrie non euclidee sono nozioni che permangono, benchè modificate.

Sopra ho parlato di rimozione, indulgendo a un vezzo di scuola e per farmi capire dagli analisti scolastici. (Per fortuna esistono anche quelli "selvaggi", di nessuna scuola). Quello di rimozione è uno pseudoconcetto che non troverà posto in una futura psicanalisi scientifica. Esistono delle simmetrie che formano una struttura. La struttura è un insieme di simmetrie su di un insieme. Esse individuano invarianti nell'insieme su cui operano. (Le simmetrie si chiamano in gergo anche operatori). Vuol dire, secondo Felix Klein, che, applicando all'insieme quante trasformazioni simmetriche vuoi, si ottiene ancora l'insieme di partenza, disposto in un altro modo ma con alcuni punti che restano fissi, per esempio il centro di simmetria.

Stando così le cose, data l'inerzia delle simmetrie, le simmetrie possono essere "tradotte" o "trasformate" in altre simmetrie mediante altre simmetrie ancora. La traduzione, se vuoi, puoi chiamarla rimozione, nel senso che una simmetria scompare dietro l'altra, ma può sempre essere ritrovata - è il ritorno del rimosso - applicando la trasformazione inversa. Punto. Non c'è bisogno di personificare la vicenda, inventando tanti piccoli uomini dentro l'uomo che combattono per il dominio del territorio psichico, rimuovendo l'altro dal proprio territorio. Teorie infantili.

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Dulcis in fundo, un po' di fantastoria, del tipo di quella che si imbastisce in analisi sulla base delle mezze verità dell'analizzante, cucite insieme dal mezzo sapere dell'analista.

Il core della matematica moderna - l'analisi infinitesimale - nasce sotto la spinta della nuova meccanica. Il meccanicismo richiedeva una matematica del continuo.

L'esigenza fu acutamente avvertita da Galilei, che progettava di riformare il V libro di Euclide, quello delle proporzioni. Ma non aveva gli attrezzi mentali. Qualcosa di meglio fece Bonaventura Cavalieri con la sua teoria degli indivisibili. Ma era troppo avanti sui tempi. La strada giusta l'aprirono Newton e Leibniz, il primo con il calcolo delle flussioni, il secondo con il calcolo differenziale e integrale.

Non sto facendo una storia teleologica. Non sto dicendo che, gli egiziani inventarono la geometria per tendere le corde e misurare le terre salvate dalle acque del Nilo. Non sto raccontando la panzana che, siccome Newton doveva calcolare l'orbita dei pianeti sottoposti a una forza d'attrazione centrale, inventò il calcolo delle flussioni. L'invenzione matematica è afinalistica. Ciononostante, non per caso certe invenzioni matematiche si applicano tanto convenientemente alla realtà fisica da sembrare pensate ad hoc per essa. Non è strano. E' semplicemente perchè nella realtà fisica valgono certe simmetrie che valgono anche nella mente "fisica" del matematico. Mutatis mutandis, ovviamente, o come si dice gergalmente, a meno di isomorfismi. Lì, nella mente, prima che nel mondo, interagiscono fisica, chimica, biologia e matematica.

(Sto dicendo che, dal punto di vista strutturale, cioè come combinazioni di simmetrie, le due res cartesiane non sono molto diverse. Ciò è la semplice conseguenze - starei per dire l'artefatto - dell'aver adottato anche per la res cogitans un approccio estensionale e non intensionale, cioè essenzialistico. Naturalmente, l'effetto è voluto. Si vuole dimostrare che il cosiddetto dualismo cartesiano è il risultato artificioso della mentalità essenzialistica dei professori di filosofia).

Ma non deve sembrare che la matematica sia a rimorchio della fisica. Perché non lo è di fatto.

Infatti, intorno al 1830 un genio solitario e ribelle, che non visse una generazione, Evariste Galois (1811-1832), inventò una matematica tanto nuova e inusitata che, non solo non trovò accoglienza nelle Accademie del suo tempo, ma nessuna applicazione neppure in fisica. Gli stessi fisici ebbero bisogno di un secolo di tempo - il lacaniano tempo per comprendere - per rendersi conto che l'algebra di Galois poteva applicarsi al mondo fisico - grazie anche al lavorio di tanti oscuri professori di matematica (tra gli italiani il già citato Luigi Bianchi, Gaetano Scorza Dragoni e il figlio Giuseppe), che seppero decodificare il messaggio nella bottiglia, lanciato da Evariste la notte prima di andare a morire in duello.

Cosa successe quella notte?

Con la scusa di dimostrare che l'equazione generale di 5° grado non si risolve per radicali, Galois inventò la matematica delle simmetrie o teoria dei gruppi.

Il concetto, al fondo, è semplicissimo, forse troppo per certe abitudini scolastiche. Qualunque sistema di calcolo delle radici di un'equazione deve essere tanto "permissivo" da "tollerare" qualunque permutazione delle radici, ossia qualunque trasformazione reversibile dello spazio delle radici in se stesso. (Qui ritroviamo, anticipato, Felix Klein). Se le soluzioni sono due: 1 e -1, sono soluzioni anche -1 e 1. (Non vado oltre queste banalità). Ora, con cinque o più soluzioni il numero delle permutazioni possibili è troppo più grande di quelle che consente un radicale o un radicale di radicale. Da qui l'impossibilità di risolvere certe equazioni con radicali. (Non oso andare più in là nella semplificazione, perché mi impantanerei).

Dallo sforzo secolare (e sterile) per tentare di risolvere ogni equazione per radicali era nata una matematica nuova e imprevedibile: la teoria dei gruppi finiti, cioè delle simmetrie che trasformano "reversibilmente" un insieme finito di oggetti in se stesso, insieme allo spazio che li contiene.

Il punto che mi interessa sottolineare è paradossale. Dai tempi della leva di Archimede la meccanica pratica simmetrie. La nuova meccanica è altamente simmetrica. Le equazioni di Lagrange (1736-1813), che la fondano sono simmetriche rispetto al tempo. La simmetria temporale implica la reversibilità dei moti e l'invarianza dell'energia. Eppure, la teoria della simmetria non nacque dalla meccanica. Non nacque dalla meccanica, anche se avrebbe potuto nascere dalla meccanica.

La teoria della reversibilità nacque dalla speculazione matematica pura. Pur lavorando quotidianamente con la reversibilità meccanica, i fisici erano lontani dal concepire una teoria fisica delle simmetrie. Tanto è vero che ebbero non poche difficoltà a giustificare l'irreversibilità dei processi termodinamici, governati dalla famosa seconda legge della termodinamica. L'inventore del teorema H dell'aumento dell'entropia in sistemi isolati, Ludwig Boltzman (1844-1906), passò una vita a tentare di dominare le riottosità della teoria cinetica (o meccanica) dei gas, e ne uscì solo suicidandosi.

Come si passa dal reversibile all'irreversibile?

Nel primo valgono delle simmetrie, nel secondo no?

Si fa scienza sia con sia senza simmetrie?

Questioni imbarazzanti.

Che tuttavia non stimolarono la consultazione dei lavori di Galois, che ormai erano stati decodificati. All'epoca era già in stato di avanzata elaborazione il teorema monstre - si parla di centomila pagine - che classifica tutti i gruppi finiti. Ma l'impatto della teoria dei gruppi sulla fisica avvenne con un certo ritardo. Infatti, i primi articoli di fisici che applicano la teoria dei gruppi alla struttura dell'atomo e alla meccanica quantistica sono solo del 1926, autori Hermann Weyl e Pal Wigner. (I lavori di Weyl rimasero a lungo enigmatici per la comunità dei fisici, a eccezione di Dirac, mentre Pauli parlava di "pestilenza gruppale".)

Resistenza alla scienza? pensa l'analista.

Sì e no.

In effetti, qui si tocca il nocciolo duro della scienza moderna, non solo della fisica. E' bene che lo psicanalista lo conosca, se vuole "curare" il soggetto della scienza.

Il mio modo per far luce sulla questione si basa sull'esperienza psicanalitica. Lì ho imparato a distinguere tra meccanicismo e determinismo. La distinzione è fondamentale e in un certo senso controintuitiva, perchè urta contro l'intuizione ingenua (fenomenologica) del meccanicismo come sistema di cause efficienti, che producono effetti necessari.

Tuttavia, se indebolisce la nozione di causa, cominciando ad accettare con Galilei che esistano effetti non determinati da alcuna causa - tipicamente i moti inerziali - anche l'analista avrà qualche chance per afferrare la distinzione che propongo tra determinismo e meccanicismo.

Comincio dalla causalità psichica. I fenomeni psichici sono meccanici, nel senso archimedeo del termine. Esistono simmetrie, che la psiche rispetta, così come esistono simmetrie, che la leva di Archimede rispetta. Nel caso della psiche si tratta di simmetrie immaginarie, legate alla funzione delle imago psichiche. Ne parla anche Lacan da bravo psichiatra, non ancora guru, nel suo Propos sur la causalité psychique (1946, J. Lacan, Ecrits, Seuil, Paris 1966, pp. 151-193).

Ma, a differenza dei fenomeni della leva, i fenomeni psichici non sono deterministici, nel senso che una o più cause li determinano come effetti. L'intuizione freudiana fu giusta. I fenomeni psichici sono sovradeterminati.

Su questa strada si può andare oltre Freud e dire che i fenomeni psichici sono probabilistici. Nel calcolo delle probabilità, così come è stato incorporato dalla meccanica quantistica, esistono simmetrie che convivono con l'indeterminismo. Le leggi quantomeccaniche sono simmetriche e indeterministiche come simmetrica e indeterministica è in generale la probabilità di un evento o di un'ipotesi. Si tratta della simmetria rispetto a 1/2 delle due probabilità: quella dell'evento o dell'ipotesi e quella dell'evento o dell'ipotesi contrari. Gli eventi probabilistici rimangono indeterministici, cioè non si verificano necessariamente in presenza dei fattori condizionanti. (Non parliamo più di cause).

E' l'osservatore - il soggetto della scienza - a introdurre nel mondo le asimmetrie e le irreversibilità. Questa è la lezione della meccanica quantistica.

Un fotone passa per entrambe le fenditure, se nessuno lo osserva. Cioè, si comporta come un'onda. Ma se lo osservi bene, lanciandogli contro un altro fotone, si comporta come un corpuscolo e passa per una e una sola fenditura,

che non puoi determinare prima.

L'indeterminismo quantomeccanico è all'origine dell'irreversibilità dei processi termodinamici. Il tema è sviluppato come "effetto parete" in un piccolo capolavoro di chiarezza cartesiana dell'ultimo ragazzo di via Panisperna, Mario Ageno, che nel 1992 pubblicò Le origni dell'irreversibilità, qualche mese prima che la morte decretasse la sua scomparsa irreversibile dalla fenditura della vita.

Meno succintamente, energia e tempo sono grandezze complementari, come velocità e posizione. Se misuri con precisione l'una lasci indeterminata l'altra (principio di Heisenberg). L'irreversibilità nasce in processi dove avvengono fenomeni di assorbimento ed emissione di energia. Se l'energia è misurata con precisione, il tempo risulta indeterminato e il processo evolve temporalmente nella direzione più probabile, tecnicamente, quella più ricca di microstati. Così l'entropia non diminuisce, fatte salve tutte le simmetrie meccaniche.

Allo stesso modo l'indeterminismo psichico è all'origine dell'irreversibilità dei processi psichici. Se sei arrivato a sapere, non puoi tornare indietro al non sapere. Ma prima non puoi stabilire se saprai o non saprai. Il sapewre è il guadagno di una lunga analisi, un compito infinito, diceva Freud.

Il soggetto è sede di processi irreversibili. Nasce differenziandosi come soggetto finito dall'oggetto infinito. Questo processo è il prototipo dei processi irreversibili. L'infinito può frantumarsi in insiemi finiti. Ma il finito non può diventare infinito in atto. Solo in potenza, come finito sempre più grande.

Lo si può dire in un altro modo. Dall'infinito al finito si retrocede in un numero finito di passi. Dal finito all'infinito si avanza solo con un numero infinito di passi (teorema di Goodstein).

Questa matematica è la vera metafisica, insegna Lord Kelvin. Ma doveva aggiungere una spiega, del tipo:

"perché la matematica non è ontologica ma epistemica".

Per chi volesse saperne di più sul valore delle simmetrie nel discorso scientifico consiglio l'aureo libretto di Hermann Weyl (lo stesso di cui sopra), La simmetria (1952), trad. G. Lopez, Feltrinelli, Milano 1962.

Un saggio polemico sulla resistenza alla scienza dei fisici, in particolare la loro ripulsa a far propria la nozione di simmetria, è il provocatorio libro di Peter Woit, Neanche sbagliata ("Das ist nicht einmal falsch") (2006), trad. A. Migliori e F. Lonegro, Codice, Torino 2007. Tratta della bufala teorica delle superstringhe, che non condividono - nel linguaggio delle congetture - il valore del falso, in quanto generatore del vero. E' l'esempio paradigmatico di come nella scienza funzioni una sorta di autocensura interna, che opera democraticamente dal basso, espellendo darwinianamente le congetture sterili, anche se sono di moda. Al contrario di quel che avviene nel discorso dottrinario di scuola, dove la censura è sempre esterna e dall'alto e... conserva antidarwinianamente le congetture sterili - che magari altrove sono già passate di moda - purchè siano conformi ai dogmi stabiliti.

Ora posso tornare alla home.